QUADRADOS MÁGICOS

Em todo Quadrado Mágico, as somas dos números de cada linha, coluna e das duas diagonais devem ser iguais. Essa soma é conhecida como soma mágica.

Quadrado Mágico  

Faremos uma análise do Quadrado Mágico , ou de ordem 3, no qual os números de 1 a 9 devem ser organizados de modo que cada linha, coluna e diagonal tenha como soma mágica o número 15.

Apresentaremos uma análise lógica deste quadrado, a qual pode ser explorada em sala de aula por professores, a partir das séries iniciais do Ensino Fundamental, pois não demanda muitos conhecimentos prévios.

Solução

1°) São nove algarismos a serem dispostos no quadro:

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9

2°) Entre os números de 1 a 9 temos: 5 ímpares e 4 pares.

3°) As possíveis combinações de três parcelas são:

a) par + par + par = par

b) par + par + impar = ímpar

c) par + ímpar + ímpar = par

d) ímpar + ímpar + ímpar = ímpar

 

4°) Analisando as combinações acima, vemos que as únicas possíveis são “b” e “d”, pois o número 15 é ímpar.

5°) O número que deve ocupar o centro do quadrado merece atenção especial, pois irá ser parcela de quatro das oito somas.

Suponha que o número do centro seja par.

ÍMPAR
	PAR
		PAR

 

Os outros dois números de cada diagonal devem ser um deles, par e o outro, ímpar.

6°) A afirmação anterior leva a duas situações:

Primeira

ÍMPAR		ÍMPAR
	PAR
PAR		PAR

 

Esta forma exige um número ímpar na primeira linha, para que a soma seja ímpar. Mas isso força que seja colocado um número par para completar a coluna do meio, o que vai deixar a terceira linha com três números pares:

ÍMPAR	ÍMPAR	ÍMPAR
	PAR
PAR	PAR	PAR

Segunda

Leva ao mesmo raciocínio da primeira.

ÍMPAR		PAR
ÍMPAR	PAR	PAR
PAR		PAR

 

7°) Nos resta tentar pôr um número ímpar no centro do quadrado mágico.

Há duas possíveis formas de preencher as diagonais do quadrado de modo que as somas sejam ímpares (com dois pares ou dois ímpares), o que nos leva a quatro combinações possíveis.

Analisemos cada uma:

Primeira

ÍMPAR		ÍMPAR
	ÍMPAR
ÍMPAR		ÍMPAR

Esta não é a solução, completando as demais casas com números pares, as somas das linhas e colunas, seriam todas pares.

Segunda

PAR		ÍMPAR
	ÍMPAR
ÍMPAR		PAR

 

Esta não é a solução, pois todas as casas restantes devem ser preenchidas com números pares. Mas só temos 4 pares de 1 a 9. Aqui são necessários 6.

Terceira

ÍMPAR		PAR
	ÍMPAR
PAR		ÍMPAR

Também não é a solução, pois é o mesmo caso anterior.

 Quarta

PAR		PAR
	ÍMPAR
PAR		PAR

 

Esta pode ser a solução, pois basta completar as casas vazias com ímpares. Logo, o número do centro é ímpar.

8º) Analisemos as combinações que resultam 15.

1 + 5 + 9	1 + 6 + 8	2 + 4 + 9	2 + 5 + 8
2 + 6 + 7	3 + 4 + 8	3 + 5 + 7	4 + 5 + 6

O único número que se apresenta como parcela de quatro somas é o 5. Logo este deve ser o número do centro.

Possíveis soluções para o quadrado mágico :

4	9	2		2	9	4		8	1	6		6	1	8
3	5	7		7	5	3		3	5	7		7	5	3
8	1	6		6	1	8		4	9	2		2	9	4

 

2	7	6		6	7	2		4	3	8		8	3	4
9	5	1		1	5	9		9	5	1		1	5	9
4	3	8		8	3	4		2	7	6		6	7	2

 

Todos os outros quadrados mágicos 3x3 têm como estrutura o modelo base anterior. Se adicionarmos um número qualquer a todos os números de 1 a 9 na solução anterior teremos um novo quadrado mágico.

Exemplo:

Somando 3, por exemplo, temos um, em que se deve dispor os números de 4 a 12 de modo que a soma seja 24.

5	12	7
10	8	6
9	4	11

 

Quadrados Mágicos  

O Quadrado Mágico , ou de ordem 4 é um quadrado quadriculado formado por 4 linhas e 4 colunas perfazendo um total de 16 células. Nesse Quadrado Mágico de ordem 4, tem como formação os 16 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13, 14, 15 e 16), cuja soma mágica é 34 e a soma de todos os seus termos 136.

 

Solução

A técnica de solução é um método bastante simples, que consiste em alguns passos:

a) Em um quadrado com 16 células, preenche-se com os números de 1 a 16.

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

 

b) Posteriormente, invertem-se as posições dos números que estão nas diagonais do quadrado, ou seja:

o 1 troca de posição com o 16;

o 4 troca de posição com o 13;

o 6 troca de posição com o 11 e

o 7 troca de posição com 10.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

 

O Quadrado Mágico  possui as seguintes propriedades:

a) a soma dos números das células dos cantos do quadrado tem como resultado a Soma Mágica;

16 + 13 + 1 + 4 = 34

 

b) a soma dos números das células do sub-quadrado  superior esquerdo tem como resultado a Soma Mágica;

16 + 2 + 5 + 11 = 34

 

c) a soma dos números das células do sub-quadrado  inferior esquerdo tem como resultado a Soma Mágica;

9 + 7 + 4 + 14 = 34

d) a soma dos números das células do sub-quadrado  superior direito tem como resultado a Soma Mágica;

3 + 13 + 10 + 8 = 34

e) a soma dos números das células do sub-quadrado  inferior direito tem como resultado a Soma Mágica;

6 + 12 + 15 + 1 = 34

f) a soma dos números das células do sub-quadrado  central tem como resultado a Soma Mágica;

11 + 10 + 7 + 6 = 34

g) a soma dos números das células dos cantos do sub-quadrado central tem como resultado a Soma Mágica;

2 + 3 + 14 + 15 = 34

h) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Soma Mágica;

16 + 3 + 9 + 6 = 34

i) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 10 + 4 + 15 = 34

j) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

2 + 13 + 7 + 12 = 34

k) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

11 + 8 + 14 + 1 = 34

l) a soma dos números das células dos laterais centrais tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 9 + 8 + 12 = 34

m) a soma dos números de diagonais quebradas tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 2 + 15 + 12 = 34

n) a soma dos números de diagonais quebradas tem como resultado a Constante Mágica;

9 + 14 + 3 + 8 = 34

 

Referência:

GONÇALVES, Alex Oleandro. A lógica do quadrado mágico 3x3. Educação Matemática em Revista, v. 11, nº 20 – 21, 2013. Disponível em: https://www.sbembrasil.org.br/periodicos/index.php/emr/article/view/994/552. Acesso em: 30 jul. 2013.

 

 

Os Fantásticos Números Primos. Disponível em: http://www.osfantasticosnumerosprimos.com.br/011-estudos-184-quadrados-magicos-4x4.html. Acesso em: 11 ago. 2025.